Différentielle de Gateaux

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $f$ une application d'un ouvert $U$ de $E$ à valeurs dans $F$. On dit que f est différentiable au sens de Gateaux au point $a\in U$ s'il existe une application linéaire continue $L:E\to F$ telle que, pour tout $v\in E$, $$\lim_{t\to 0}\frac1t\big(f(a+tv)-f(a)\big)=L(v).$$ $L$ est alors appelée la différentielle de Gateaux de $f$ en $a$.

Cette notion est plus faible que la notion usuelle de différentiabilité, aussi appelée différentiabilité au sens de Fréchet. En effet, si $f$ est différentiable en $a$ au sens de Fréchet et si $L$ est sa différentielle, alors il existe une fonction $\varepsilon:\mathbb R_+\to\mathbb R$, avec $\varepsilon(x)\to 0$ si $x\to 0$, telle que, pour tout $v\in E$, $$\left|\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}-L(v)\right|\leq \varepsilon(|t|).$$ Si $f$ est différentiable en $a$ au sens de Gateaux, et si $L$ est sa différentielle, alors pour tout $v\in E$, il existe une fonction $\varepsilon_v:\mathbb R_+\to\mathbb R$, avec $\varepsilon_v(x)\to 0$ si $x\to 0$, telle que $$\left|\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}-L(v)\right|\leq \varepsilon_v(|t|).$$

Cette notion de différentiabilité a été introduite par Gateaux en 1913 afin d'établir une théorie de l'intégration en dimension infinie.