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Processus de Galton-Watson

Le processus de Galton-Watson, ou processus de branchement est un processus stochastique mis en évidence en 1874 par Galton et Watson pour décrire l'évolution des patronymes dans une population. Il s'applique à de nombreux autres caractères de dynamique des populations.

On suppose que, dans une population donnée, chaque individu donne naissance à $k$ enfants avec une probabilité $p_k$ et ceci pour tous les individus, à toutes les générations, et de façon indépendante les uns des autres. On suppose qu'au temps $t=0,$ cette population comporte $S_0$ éléments. Chaque élément donne alors naissance à un nombre aléatoire de descendants suivant la loi de probabilité donnée $(p_k)_{k\geq 0}.$ On obtient à la première génération $S_1$ individus. Chaque individu de cette nouvelle génération donne naissance à un nombre aléatoire de descendants, suivant la même loi que précédemment. On construit ainsi une suite $(S_n)$ de variables aléatoires qui représente le nombre d'individus de la $n$-ième génération. La suite $(S_n)$ s'appelle processus de branchement ou processus de Galton-Watson.

Ce processus est un exemple de chaine de Markov : la valeur de $S_{n+1}$ ne dépend que de celle de $S_n$. Le théorème suivant décrit l'évolution de $(S_n)$ en fonction d'un paramètre du processus :

Théorème : Soit $(S_n)$ un processus de Galton-Watson suivant la loi de reproduction $(p_k)$. On note $m=\sum_{k\geq 1}kp_k$. Alors :
  • si $m<1$, alors avec probabilité $1$, $S_n=0$ à partir d'un certain rang. On parle de régime sous-critique;
  • si $m>1$, alors avec probabilité positive, $(S_n)$ tend vers $+\infty$. On parle de régime sur-critique
  • si $m=1$, alors avec probabilité $1$, $S_n=0$ à partir d'un certain rang, sauf si $p_1=1$. Dans ce cas, $S_n=S_0$ presque sûrement. On parle de régime critique.
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