$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Mathématiques discrètes > Dénombrement >
Dictionnaire de mathématiques > Fondements > Théorie des ensembles >

Partitions ordonnées et nombres de Fubini

Si $E$ est un ensemble non vide, on appelle partition ordonnée de $E$ un $p$-uplet $(X_1,\dots,X_p)$ tel que $\{X_1,\dots,X_p\}$ soit une partition de $E.$ Par exemple, l'ensemble $\{1,2\}$ possède trois partitions ordonnées : $(\{1\},\{2\})$, $(\{2\},\{1\})$, $(\{1,2\})$. L'ensemble $\{1,2,3\}$ possède treize partitions ordonnées : $6$ du type $(\{a\},\{b\},\{c\})$, $3$ du type $(\{a\},\{b,c\}))$, $3$ du type $(\{a,b\},\{c\})$ et $(\{1,2,3\})$.

Pour $n\geq 1,$ le $n$-ième nombre de Fubini, noté $F_n,$ est le nombre de partitions ordonnées d'un ensemble à $n$ éléments. On a donc $$F_1=1,\ F_2=3,\ F_3=13,\dots$$ On peut ensuite calculer les valeurs successives de $F_n$ par la relation de récurrence $$F_n=\sum_{k=0}^{n-1} \binom nk F_k$$ en convenant que $F_0=0$ (c'est-à-dire qu'il y a une seule partition ordonnée de l'ensemble vide).

En utilisant les séries entières (ou les séries génératrices), on prouve alors que $$F_n=\frac 12\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^n}{2^k}.$$ On dispose par ailleurs de l'équivalent $$F_n\sim_{+\infty}\frac{n!}{2(\ln 2)^{n+1}}.$$

Le $n$-ième nombre de Fubini $F_n$ désigne aussi le nombre de classements possibles d'une course opposant $n$ concurrents, avec éventuellement des exæquo. Par exemple, la partition ordonnée $(\{2\},\{1,3\})$ signifie que le coureur $2$ a remporté la course et que les coureurs $1$ et $3$ ont fini exæquo à la deuxième place.

Les nombres de Fubini ont été introduits par Arthur Cayley en 1859, afin de dénombrer un certain type d'arbre à $n+1$ feuilles. Ils sont souvent appelés (notamment dans la littérature anglo-saxonne) nombres de Bell ordonnés, les nombres de Bell désignant le nombre de partitions d'un ensemble. La terminologie nombre de Fubini est due à Louis Comtet, dans son livre Analyse combinatoire publié en 1970. En effet, les nombres de Fubini comptent aussi le nombre de formes équivalentes d'une intégrale de $n$ variables, en utilisant le théorème de Fubini. Par exemple, une intégrale double peut être calculée de $F_2=3$ façons équivalentes : $$\int_{A\times B}f(x,y)dxdy=\int_B\left(\int_Af(x,y)dx\right)dy=\int_A\left(\int_B f(x,y)dy\right)dx.$$
Consulter aussi
Recherche alphabétique
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Recherche thématique
  • Algèbre
  • Analyse
  • Applications
  • Arithmétique
  • Probabilité et statistiques
  • Géométrie
  • Fondements
  • Histoire
  • Mathématiques discrètes
  • Mathématiques interactives