Réduction de Frobenius
La réduction de Frobenius (ou théorie des invariants de similitude) est une forme de réduction des endomorphismes assez éloignée dans son esprit de la diagonalisation ou de la trigonalisation. Son but n'est pas de donner une forme simple à la matrice de $u$ pour autoriser des calculs faciles, mais de caractériser la classe des endomorphismes qui sont semblables à $u$. Dans la suite, $E$ désigne un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$.
Théorème et définition : Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Il existe une suite $F_1,\dots,F_r$ de
sous-espaces vectoriels de $E$, tous stables par $u$, telle que :
- $E=F_1\oplus\cdots\oplus F_r$;
- Pour tout $i\in\{1,\dots,r\}$, la restriction $u_i$ de $u$ à $F_i$ est un endomorphisme cyclique de $F_i$.
- Si $P_i$ désigne le polynôme minimal de $u_i$, alors $P_{i+1}|P_i$ pour tout $i\in\{1,\dots,r-1\}.$
Comme on sait réduire les endomorphismes cycliques, on obtient la réduction suivante pour tout endomorphisme ($C(P)$ désigne la matrice compagnon du polynôme $P$).
Théorème (réduction de Frobenius) : Soit $u$ un endomorphisme de $E$
et $P_1,\dots,P_r$ la suite de ses invariants de similitude. Alors il existe une base de $E$ telle que la
matrice de $u$ dans cette base soit
$$\begin{pmatrix}
C(P_1)&&0\\
&\ddots&\\
0&&C(P_r)
\end{pmatrix}$$
Ainsi, deux endomorphismes sont semblables si et seulement s'ils ont les mêmes invariants de similitude.
La théorie des invariants de similitude a de nombreuses conséquences. Par exemple :
- si $L$ est un surcorps de $K,$ deux matrices $A,B\in\mathcal M_n(K)$ sont semblables sur $K$ si et seulement si elles sont semblables sur $L.$
- dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$ avec $n=2$ ou $3,$ deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont le même polynôme minimal et le même polynôme caractéristique; cette propriété est fausse à partir de $n=4.$
La théorie des invariants de similitude est un cas concret
d'un théorème beaucoup plus général de structure des modules de type fini sur un anneau principal.
À ce titre, c'est un théorème du même type que le théorème de structure des sous-groupes
de $\mathbb Z^n$.
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