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Les fractales et l'exemple du flocon de Koch

Qu'est-ce qu'une fractale??? C'est quelque chose de compliquer à définir mathématiquement (nous ne le ferons pas ici très précisément), mais aussi que l'on rencontre en permanence dans la nature. Pour simplifier, on pourrait dire que c'est une courbe, ou une surface qui, quelle que soit l'échelle à laquelle on la regarde, reste très irrégulière.

Prenons l'exemple de la côte bretonne. Elle est extrèmement découpée par de nombreuses baies. Mais zoomez sur une baie, elle est tout autant découpée par les criques! Et ceci ainsi de suite jusqu'aux limites de la perception humaine!

Nous allons désormais, pour illustrer notre propos, nous appuyer sur un exemple particulier, le flocon de Koch. Partant d'un segment de longueur $1,$ et on retire le $1/3$ central, que l'on remplace par un triangle équilatéral sans base de longueur $1/3.$ Ce faisant, la longueur de l'objet construit vaut maintenant $4/3.$ On recommence sur chacun des côtés de longueur $1/3,$ et on obtient une courbe de longueur $(4/3)^2.$ On itère le procédé. A la $n$-ème itération, la longueur de la courbe est $(4/3)^n.$ Le flocon de Koch est l'ensemble limite. On observe que sa longueur est infinie, bien qu'il soit enfermé dans une surface d'aire finie.

Le flocon de Koch possède une propriété géométrique particulière : comme sur le dessin ci-dessous, on peut le diviser en 4 parties égales. Chacune des parties, si on la dilate par un facteur 3, est exactement le flocon de Koch initial. On appelle cette propriété la similarité interne.

Ceci nous permet de définir la dimension fractale du flocon de Koch : il s'agit du rapport $\ln(4)\ln(3),$ où $4$ est le nombre de parties, et $3$ est le rapport de la dilatation. Cette dimension vaut à peu près $1,\!26.$ On peut remarquer que cette définition de la dimension fractale prolonge la dimension usuelle. Prenons un carré : on peut le partager en $4$ carrés égaux de côté moitié, et une dilatation de rapport $2$ redonne le carré de départ. La dimension fractale du carré vaut donc $\ln(4)/\ln(2)=2,$ ce qui est bien la dimension usuelle d'un carré.

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