Série de Fourier

L'idée des séries de Fourier est la suivante. Étant donnée une fonction $f$ $2\pi$-périodique, peut-on l'écrire comme somme de fonctions $2\pi$-periodiques élémentaires, à savoir les fonctions $\cos(nx)$ et $\sin(nx)?$

Soit donc $f$ une fonction $2\pi$-périodique, intégrable sur $[0,2\pi]$ (par exemple, continue par morceaux). On appelle coefficients de Fourier exponentiels de $f$ les nombres complexes définis par : $$c_n(f)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt,\ n\in\mathbb Z.$$ Les coefficients de Fourier trigonométriques sont eux définis par : $$a_0(f)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)dt,$$ $$a_n(f)=\frac1{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)dt,\ n\geq 1,$$ $$b_n(f)=\frac1{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt)dt,\ n\geq 1.$$ Ces coefficients sont reliés par les formules, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $$c_n = \frac 12 (a_n - i b_n)\textrm{ et }c_{-n} = \frac 12 (a_n + i b_n),$$ $$ a_n = c_n + c_{-n}\textrm{ et }b_n = i (c_n - c_{-n}).$$

La série de Fourier de $f$ est alors définie par $$a_0(f)+\sum_{n\geq 1}\big( a_n(f)\cos(nt)+b_n(f)\sin(nt)\big)$$ ce qui, d'après les formules précédentes, peut encore s'exprimer avec les coefficients exponentiels : $$\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(f)e^{int}.$$

Le problème est maintenant le suivant : la série de Fourier de $f$ converge-t-elle? Si oui, est-ce vers $f$? En quel sens? On a de nombreux résultats positifs (théorème de Jordan-Dirichlet, théorème de Parseval, théorème de Carleson par exemple...) mais aussi des résultats négatifs (comme l'exemple de du Bois-Reymond d'une fonction continue dont la série de Fourier ne converge pas en 0).

Les séries de Fourier ont été introduites par Joseph Fourier à la suite de ses recherches sur l'équation de chaleur vers 1830. Elle ont depuis suscité beaucoup de travaux chez les plus grands mathématiciens (Dirichlet, Cantor, Lebesgue), et font encore l'objet d'études actives.