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Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Courbes et surfaces >

Formules de Frénet

On considère un arc régulier de classe $\mathcal C^2$, $s\mapsto M(s)$ un paramétrage par l'abscisse curviligne de cet arc, et $(\overrightarrow{T(s)},\overrightarrow{M(s)})$ le repère de Frénet au point $M(s).$ Alors, la dérivée du vecteur tangente est colinéaire au vecteur normal, et on note $$\frac{d\overrightarrow{T(s)}}{ds}=c(s)\overrightarrow{N(s)},$$ où $c(s)$ est par définition la courbure de l'arc au point $M(s).$ De plus, la dérivée du vecteur normal est elle-même colinéaire au vecteur tangent, selon la formule $$\frac{d\overrightarrow{N(s)}}{ds}=-c(s)\overrightarrow{T(s)}.$$

Il y a une autre façon d'interpréter la courbure en fonction de la variation de l'angle polaire au point $M(s).$ En effet, le vecteur $\overrightarrow{T(s)},$ qui est de norme 1, peut s'écrire $$\overrightarrow{T(s)}=\cos(\alpha(s))\overrightarrow{i}+\sin(\alpha(s))\overrightarrow{j}$$ où $\alpha(s)$ est défini modulo $2pi.$ Si on peut choisir une détermination $\alpha$ de classe $\mathcal C^1,$ alors la courbure en tout point $M(s)$ vérifie $$c(s)=\frac{d\alpha(s)}{ds}.$$ Autrement dit, la courbure mesure la vitesse de variation de l'angle polaire.

Les trois formules $$\frac{d\vec T}{ds}=c\vec N,\ \frac{d\vec N}{ds}=-c \vec T\textrm{ et }\frac{d\alpha}{ds}=c$$ sont connues sous le nom de formules de Frénet.

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