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Bibm@th

Forme indéterminée

Lorsqu'on cherche la limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient de fonctions ou de suites, des théorèmes algébriques nous renseignent parfois. Par exemple, si $(u_n)$ tend vers $\infty$ et si $(v_n)$ converge vers le réel $\ell$, alors $(u_n+v_n)$ tend vers $+\infty$. Mais il existe des situations où il n'existe pas ce genre de règles générales. Par exemple

  • si $(u_n)$ et $(v_n)$ tendent toutes les deux vers $+\infty$, on ne peut pas savoir quel est le comportement de $(u_n/v_n)$. Si j'ai $u_n=n^2$ et $v_n=n$, alors le quotient $u_n/v_n$ tend vers $+\infty$, mais si $v_n=n$ et $u_n=n^2$, alors le quotient $u_n/v_n$ tend vers $0$.
  • si $(u_n)$ tend vers $0$ et si $(v_n)$ tend vers $+\infty$, on ne peut pas savoir a priori quel est le comportement de $(u_n\times v_n)$. Si on choisit $u_n=1/n$ et $v_n=n^2$, alors $u_n\times v_n$ tend vers $+\infty$, mais si je choisis $u_n=1/n$ et $v_n=n$, alors le produit $u_n\times v_n$ tend vers $1$.
  • et il y a beaucoup d'autres cas similaires... (différence de deux suites qui tendent vers $+\infty$, quotient de deux suites qui tendent vers $0$,...)

De telles situations sont appelées formes indéterminées. Parvenir tout de même à trouver la limite, c'est lever l'indéterminé.

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