Formes différentielles

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb R^n.$ On appelle forme différentielle de classe $\mathcal C^k$ sur $U$ toute application de classe $\mathcal C^k$ de $U$ vers le dual $(\mathbb R^n)^*$ de $\mathbb R^n.$

Les formes linéaires coordonnées sont en général notées $dx_1,\dots,dx_n.$ Ceci signifie que si $x=(x_1,\dots,x_n),$ alors $dx_i(x)=x_i.$ Ainsi, si $\omega$ est une forme différentielle, elle peut s'écrire de façon unique $$\omega=\omega_1 dx_1+\cdots+\omega_n dx_n$$ où les $\omega_i$ sont des fonctions définies sur $U$ et à valeurs dans $\mathbb R.$

Les formes différentielles généralisent la notion de différentielle d'une fonction de plusieurs variables. En effet, si $f$ est une fonction différentiable sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n,$ à valeurs dans $\mathbb R,$ sa différentielle en un point $x\in U$ est une application linéaire de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R,$ c'est-à-dire un élément du dual $(\mathbb R^n)^*.$ Ainsi, l'application $x\mapsto df_x$ est une forme différentielle particulière. Dans la base précédente, elle s'écrit $$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n.$$ Toutes les formes différentielles ne sont pas des différentielles de fonctions. Celles qui le sont s'appellent formes différentielles exactes.