Fonction génératrice d'une variable aléatoire discrète
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb N$. On appelle fonction génératrice de $X$ la série entière suivante : $$G_X(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(X=n)t^n.$$ Le rayon de convergence de la série entière précédente est supérieur ou égal à $1$. $G_X$ définit donc une fonction de classe $\mathcal C^\infty$ sur $]-1,1[.$ De plus, puisque $\sum_{n=0}^{+\infty}P(X=n)=1,$ la série définissant $G_X$ en $1$ et en $-1$ converge absolument, et $G_X$ est continue sur l'intervalle fermé $[-1,1].$
Exemples :
- Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$, alors $$G_X(t)=(1-p)+pt.$$
- Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n,p$, alors $$G_X(t)=\big((1-p)+pt)^n.$$
- Si $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$, alors $$G_X(t)=\frac{pt}{1-(1-p)t}.$$
- Si $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$, alors $$G_X(t)=e^{-\lambda}e^{\lambda t}.$$
La fonction génératrice caractérise la loi d'une variable aléatoire :
La fonction génératrice permet également de retrouver la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes :
Enfin, la fonction génératrice permet de retrouver les moments d'une variable aléatoire :
- $X$ admet une espérance si et seulement si $G_X$ est dérivable à gauche en $1$. Dans ce cas, $G_X'(1)=E(X)$;
- $X$ admet une variance finie si et seulement si la dérivée à gauche d'ordre $2$ de $G_X$ est définie en $1.$ Dans ce cas, $V(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-\big(G_X'(1)\big)^2.$