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Fonctions vectorielle et scalaire de Leibniz

Fonction vectorielle de Leibniz

Soit $n\geq 2$ un entier, soit $(A_i)_{i=1,\dots,n}$ une famille de $n$ points du plan et $(x_i)_{i=1,\dots,n}$ une famille de $n$ réels. La fonction vectorielle de Leibniz associée au système de points pondérés $(A_i,x_i)_{i=1,\dots,n}$ est l'application $f$ qui, à tout point $M$ associe le vecteur $\overrightarrow{f(M)}$ défini par $$\overrightarrow{f(M)}=\sum_{i=1}^n x_i \overrightarrow{MA_i}.$$

La fonction de Leibniz vérifie la relation fondamentale suivante : pour tous points $M$ et $N,$ on a : $$\overrightarrow{f(N)}=\overrightarrow{f(M)}+\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) \overrightarrow{MN}.$$ En particulier, si la masse du système $m=x_1+\cdots+x_n$ est nulle, l'application est constante. Si la masse n'est pas nulle, alors la fonction admet l'expression plus simple $$\overrightarrow{f(M)}=\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) \overrightarrow{MG}$$ où $G$ est le barycentre du système de points pondérés $(A_i,x_i)_{i=1,\dots,n}$.

Fonction scalaire de Leibniz

Soit $n\geq 2$ un entier, soit $(A_i)_{i=1,\dots,n}$ une famille de $n$ points du plan et $(x_i)_{i=1,\dots,n}$ une famille de $n$ réels. La fonction scalaire de Leibniz associée au système de points pondérées $(A_i,x_i)_{i=1,\dots,n}$ est l'application $f$ qui, à tout point $M$ associe le réel $$f(M)=\sum_{i=1}^n x_i MA_i^2.$$ Si la masse $m=x_1+\cdots+x_n$ est non nulle, alors la fonction scalaire de Leibniz admet l'expression plus simple suivante  $$f(M)=f(G)+\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)MG^2,$$ où $G$ est le barycentre du système de points pondérés $(A_i,x_i)_{i=1,\dots,n}$. En particulier, la fonction scalaire de Leibniz atteint son minimum au point $G$, et pour $C\in\mathbb R_+$ fixé, l'ensemble des points $M$ du plan tels que $f(M)=C$ est ou bien vide, ou bien un cercle de centre $G.$

Si la masse est nulle, alors la fonction scalaire de Leibniz s'écrit $$f(M)=f(O)+2\overrightarrow{MO}\cdot\vec u$$ où $O$ est un point arbitrairement fixé et $\vec u$ est le vecteur égal à la fonction vectorielle de Leibniz (qui est constante dans ce cas).

Les fonctions de Leibniz peuvent plus généralement être définies dans un espace affine.

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