Flot d'un champ de vecteurs

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb R^d$ et $f$ un champ de vecteurs sur $U$ de classe $\mathcal C^1$, c'est-à-dire une application $f:U\to \mathbb R^d$. On suppose en outre que $f$ est continue et localement lipschitzienne. Pour tout $a\in U$, le théorème de Cauchy-Lipschitz nous dit que l'équation différentielle $X'=f(X)$, $X(0)=a$, admet une unique solution maximale $(J_a,\phi(\cdot,a))$. On appelle flot du champ de vecteurs (ou de l'équation différentielle associée) l'application $\phi:(t,a)\mapsto \phi(t,a)$, définie sur $W=\bigcup_{a\in U}\{a\}\times J_a\subset U\times \mathbb R.$ L'ensemble $W$ est un ouvert de $\mathbb R^d\times \mathbb R$ et la fonction $\phi$ est continue sur $W.$

On a décrit ici le flot d'une équation différentielle autonome. Ce n'est pas vraiment une restriction, puisqu'on peut écrire toute équation différentielle comme une équation différentielle autonome en ajoutant une variable.