Topologie plus ou moins fine que...
Soit $E$ un ensemble que l'on peut munir de deux topologies $\mathcal O_1$ et $\mathcal O_2$. La topologie définie par $\mathcal O_1$ est plus fine que la topologie définie par $\mathcal O_2$ si elle a plus d'ouverts, i.e. si tout ouvert de $\mathcal O_2$ est un ouvert de $\mathcal O_1$. On définit ainsi une relation d'ordre sur toutes les topologies de $E.$ On a la caractérisation suivante :
Exemples :
- la topologie discrète : Pour cette topologie, tout singleton est ouvert, plus généralement tout ensemble est ouvert. C'est la topologie la plus fine qu'on peut mettre sur un ensemble.
- la topologie grossière : Ses seuls ouverts sont l'ensemble vide et l'ensemble tout entier; c'est la topologie la moins fine qu'on peut mettre sur un ensemble.
L'intersection de deux topologies est une topologie. On peut ainsi définir sur un ensemble la topologie la moins fine vérifiant une certaine propriété. C'est ainsi qu'on définit la topologie produit. Si $(E_i,\mathcal O_i)_{i\in I}$ sont des espaces topologiques, et $E$ est le produit cartésien des $E_i$, la topologie produit sur $E$ est la topologie la moins fine telle que les projections $p_i:E\to E_i$, $i\in I$, sont continues.