Filtre
On appelle filtre sur un ensemble $E$ une famille non-vide $\mathcal F$ de parties de $E$ vérifiant :
- $A,B\in\mathcal F\implies A\cap B\in\mathcal F$;
- $A\in\mathcal F$ et $A\subset B\implies B\in\mathcal F$;
- $\varnothing\notin\mathcal F$.
Ex : Pour $E=\mathbb N$, $\mathcal F=\{A\subset\mathbb N;\ A^c\textrm{ fini}\}$ est un filtre, appelé le filtre de Fréchet. En effet :
- Si $A^c$ est fini et $B^c$ sont finis, alors $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$ est fini.
- Si $A^c$ est fini et $A\subset B$, alors $B^c$ est fini.
- $\varnothing^c=\mathbb N$ n'est pas fini.
Les filtres interviennent en topologie lorsque la notion de suite devient insuffisante. On parle alors de suite généralisée. On a par exemple la définition suivante : soit $X$ un espace topologique, $E$ un ensemble muni d'un filtre $\mathcal F$. Une famille $(x_\alpha)_{\alpha\in E}\subset X^E$ converge vers $\ell\in X$ suivant le filtre $\mathcal F$ si, pour tout $V$ voisinage de $\ell$, il existe $F\in\mathcal F$ tel que, pour tout $\alpha\in F$, $x_\alpha\in V.$ Si $E=\mathbb N$ et si $\mathcal F$ est le filtre précédent, on retrouve la définition de la convergence d'une suite.