$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Bibm@th Polynômes de Fibonacci
Les polynômes de Fibonacci sont les polynômes $(F_n)$ définis par :
$$F_n(x)=\left\{
\begin{array}{l}
0&\textrm{ si }n=0\\
1&\textrm{ si }n=1\\
xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x)&\textrm{ si }n\geq 2.
\end{array}\right.
$$
Les polynômes de Fibonacci généralisent les nombres de Fibonacci au sens que $F_n(1)$ est égal au $n$-ième nombre
de la suite de Fibonacci. Ils vérifient la relation :
$$\forall n\geq 1,\ F_{n+1}^2=F_nF_{n+2}+(-1)^n.$$
Les premiers polynômes de Fibonacci sont
$$\begin{array}{rcl}
F_0(x)&=&0\\
F_1(x)&=&1\\
F_2(x)&=&x\\
F_3(x)&=&x^2+1\\
F_4(x)&=&x^3+2x\\
F_5(x)&=&x^4+3x^2+1\\
F_6(x)&=&x^5+4x^3+3x.
\end{array}$$
Les polynômes de Fibonacci vérifient de jolies propriétés arithmétiques.
Par exemple, on peut démontrer que
$$F_n|F_m\iff n|m.$$
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