$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Polynômes de Fibonacci

Les polynômes de Fibonacci sont les polynômes $(F_n)$ définis par : $$F_n(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0&\textrm{ si }n=0\\ 1&\textrm{ si }n=1\\ xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x)&\textrm{ si }n\geq 2. \end{array}\right. $$

Les polynômes de Fibonacci généralisent les nombres de Fibonacci au sens que $F_n(1)$ est égal au $n$-ième nombre de la suite de Fibonacci. Ils vérifient la relation : $$\forall n\geq 1,\ F_{n+1}^2=F_nF_{n+2}+(-1)^n.$$

Les premiers polynômes de Fibonacci sont $$\begin{array}{rcl} F_0(x)&=&0\\ F_1(x)&=&1\\ F_2(x)&=&x\\ F_3(x)&=&x^2+1\\ F_4(x)&=&x^3+2x\\ F_5(x)&=&x^4+3x^2+1\\ F_6(x)&=&x^5+4x^3+3x. \end{array}$$

Les polynômes de Fibonacci vérifient de jolies propriétés arithmétiques. Par exemple, on peut démontrer que $$F_n|F_m\iff n|m.$$

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