Forme sesquilinéaire et forme hermitienne
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb C$ et soit $f:E\times E\to\mathbb C$. On dit que $f$ est une forme sesquilinéaire si :
- $f$ est semi-linéaire (ou anti-linéaire) par rapport à la première variable. Précisément, $$\forall (x,x',y)\in E^3,\ \forall\lambda\in\mathbb C,\ f(x+\lambda x',y)=f(x,y)+\overline{\lambda}f(x',y)$$ (la condition de semi-linéarité, et non de linéarité, signifie donc qu'on prend le conjugué du complexe).
- $f$ est linéaire par rapport à la deuxième variable, c'est-à-dire $$\forall (x,y,y')\in E^3,\ \forall\lambda\in\mathbb C,\ f(x,y+\lambda y')=f(x,y)+{\lambda}f(x,y').$$
Une forme sesquilinéaire est appelée forme hermitienne si elle vérifie en outre la propriété de symétrie suivante : $$\forall (x,y)\in E^2,\ f(y,x)=\overline{f(x,y)}.$$
Les formes hermitiennes sont l'analogue pour les $\mathbb C$-espaces vectoriels des formes bilinéaires symétriques des $\mathbb R$-espaces vectoriels. En particulier, la condition de symétrie hermitienne permet d'imposer à $f(x,x)$ d'être réel! Signalons que dans certains livres, une forme sesquilinéaire est linéaire par rapport à la première variable, et semi-linéaire par rapport à la deuxième.
Étymologiquement, sesquilinéaire signifie "une fois et demie"-linéaire : une fois à droite et une demi-fois à gauche.Consulter aussi
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