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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Topologie > Vocabulaire général >

Fermé

On dit qu'une partie $F$ d'un espace topologique (ou d'un espace métrique, ou d'un espace vectoriel normé) $E$ est fermée (ou que $F$ est un fermé de $E$) si son complémentaire dans $E$ est ouvert.

Lorsque $E$ est un espace métrique (en particulier, si $E$ est un espace vectoriel normé), on dispose d'une caractérisation en termes de suites :

Théorème : Soit $(E,d)$ un espace métrique et $F$ une partie de $E$. $F$ est fermé si, et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui converge vers un élément $\ell$ de $E,$ alors $\ell$ appartient à $F$ (autrement dit, toutes les suites convergentes de $F$ ont leur limite qui reste dans $F$).

Par définition, $\varnothing$ et $E$ lui-même sont des fermés.

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