Fractale de Feigenbaum
Tout part de la suite logistique, définie par $u_0\in [0,1]$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f(x)=px(1-x)$, $p$ étant une constante comprise entre 0 et 4. Lorsqu'on étudie cette suite, des choses étranges apparaissent suivant la valeur de $p$. Pour $p$ petit, cette suite est convergente. Lorsque $p$ devient supérieur à 3, la suite ne converge plus. En revanche, les termes d'ordre pair $_{2n}$ tendent vers une certaine limite, ceux d'ordre impair $u_{2n+1}$ vers une autre. On dit qu'on a un cycle d'ordre 2. Puis si $p$ augmente encore, cette fois les termes se rangent par 4. On a désormais un cycle d'ordre 4. Lorsque $p$ augmente encore un peu, on voit apparaître des cycles d'ordre 8... et ainsi de suite. Enfin, lorsque $p$ s'approche vraiment de 4, plus rien n'est prévisible, la suite admet tantôt des cycles d'ordre qui semblent arbitraires, tantôt pas de cycles du tout! C'est le chaos!
Ce passage d'un cycle de longueur 2 à un cycle de longueur 4, puis d'un cycle de longueur 4 à un cycle de longueur 8, etc... porte un nom en mathématiques : on l'appelle bifurcation. La figure suivante a été conçue de la façon suivante : pour chaque valeur de $p$ en abscisse, on a affiché les points de la suite $(u_n)$ pour de "grandes" valeurs de $n$ (en pratique, on a affiché les points $(p,u(20))$, $(p,u(21))$,..., $(p,u(30)))$. A gauche de la courbe, lorsque $p$ est petit, les points à un $p$ donné sont concentrés autour du même point, ce qui montre que la suite est convergente. Puis, lorsque $p$ augmente, on voit clairement apparaître deux points où les valeurs s'accumulent : c'est le cycle d'ordre 2. En pointillés, on a représenté les premières abscisses où il y a bifurcation.
La première constante de Feigenbaum est définie de la façon suivante : on note $p_n$ l'abscisse du point où a lieu la $n$-ième bifurcation - le passage d'un cycle d'ordre $2^{n-1}$ à un cycle d'ordre $2^n$. Alors la première constante de Feigenbaum est :
$$\delta=\frac{p_n-p_{n-1}}{p_{n+1}-p_n}.$$ Numériquement, cette constante vaut : $$\delta=4,\!66921166091029906\dots.$$On sait assez peu de choses sur la nature de ce nombre, par exemple, on ne sait pas s'il est transcendant. Ce que l'on sait en revanche, c'est que la constante de Feigenbaum est universelle. En effet, si l'on remplace la fonction $f(x)=px(1-x)$ par n'importe quelle fonction $f(x)=pg(x)$ où la courbe représentative de $g$ ressemble à une "bosse de dromadaire", on aura le même phénomène : d'abord convergence pour de faibles valeurs de $p$, puis cascade de bifurcations, puis chaos! Et si l'on définit la même constante que précédemment, on trouvera encore la constante de Feigenbaum! Précisons peut-être ce que doit vérifier cette fonction $g$ :
- $g$ est définie dans [0,1], est continue et 3 fois dérivable dans cet intervalle.
- $g$ admet un maximum unique sur [0,1], en un point $x_m$ où $g''(x_m)$ est non nul.
- $g$ a une dérivée schwarzienne négative sur [0,1], où la dérivée schwarzienne est définie par $$\frac{g^{(3)}(x)}{g'(x)}-\frac 32\left(\frac{g''(x)}{g'(x)}\right)^2.$$
Par exemple, la fonction $g(x)=sin(\pi x)$ convient aussi!
On définit parfois une deuxième constante de Feigenbaum, de la façon suivante : si $d_n$ est la plus petite valeur qui apparait dans les cycles d'ordre $2^n$, on pose $$\alpha=\lim_{n\to+\infty}\frac{d_n}{d_{n+1}}=2,\!50290787509\dots$$
Cette constante est elle aussi universelle pour les fonctions décrites précédemment !
Ce phénomène a été découvert en 1975 par le mathématicien et physicien américain
Mitchell Feigenbaum, connu pour sa fantaisie. Il raconte qu'il a téléphoné le soir même à ses parents pour leur dire "[qu'il]
avait découvert un résultat remarquable qui le rendrait célèbre".