Méthode de la fausse position
La méthode de la fausse position est une méthode pour résoudre des problèmes arithmétiques sans introduire le vocabulaire de l'algèbre (c'est-à-dire sans poser l'équation correspondante), mais en utilisant la proportionnalité, et en particulier la règle de 3 et en partant d'une "fausse position", c'est-à-dire d'une valeur possible pour l'inconnue, et en corrigeant cette valeur pour obtenir la solution.
La méthode de la fausse position simple permet de résoudre les problèmes se ramenant à une équation linéaire à une inconnue. Voici comment elle s'applique au problème suivant : Ahmed, Bertrand et Chloé se sont partagés une somme d'argent. Ahmed a reçu le tiers, Bertrand un quart, et Chloé 1760 euros. Quelle était la somme à partager?
Imaginons que la somme à partager soit $12$ euros (nombre divisible par $3$ et par $4$). Alors Ahmed aurait reçu $4$ euros, Bertrand aurait reçu $3$ euros, et Chloé aurait reçu $5$ euros. Or, elle a reçu $1760$ euros. Donc, si $5$ est la somme issue du partage de $12$, par une règle de $3$, $1760$ est la somme issue du partage de $$\frac{1760\times 12}{5}=4224\textrm{ euros}.$$
La méthode de la double fausse position permet de résoudre des équations du type $ax+b=c$ lorsqu'on ne connait pas (ou qu'on ne veut pas calculer explicitement) $a$ et $b,$ mais qu'on connait la valeur de $ax+b$ pour au moins deux valeurs de la variable $x$. En effet, si on sait que $ax_1+b=c_1$ et que $ax_2+b=c_2$, alors la solution de $ax+b=c$ est donnée par $$x=\frac{x_1(c_2-c)-x_2(c_1-c)}{c_2-c_1}=\frac{x_1e_2-x_2e_1}{e_2-e_1},$$ en notant $e_1$ et $e_2$ les écarts à la valeur voulue, c'est-à-dire $e_1=c_1-c$ et $e_2=c_2-c$.
Voici un exemple concret d'application de la méthode de la fausse position. Une cagnotte est constituée pour fêter l'anniversaire d'une personne. Elle contient déjà une certaine somme d'argent. Des amis veulent la compléter pour qu'elle contienne exactement 70 euros. Ils remarquent que s'ils versent $5$ euros chacun, il manquera $12$ euros et que s'ils versent $10$ euros chacun, il y aura $28$ euros de trop. Quelle somme doivent-ils verser? En utilisant les notations précédentes, on a $x_1=5$, $e_1=-12$, $x_2=10$, $e_2=18$. Ils doivent donc verser $$\frac{5\times 18+10\times 12}{18+12}=\frac{210}{30}=7\textrm{ euros}.$$
La méthode de la double fausse position est aussi adaptée pour la résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues. Voici un exemple extrait d'un livre de "Cours moyen et supérieur" de la fin du XIXè siècle. Un sac contient $154$ euros en pièces de $2$ euros et de $5$ euros. Il y a $41$ pièces en tout. Combien contient-il de pièces de $2$ euros?
S'il contenait $41$ pièces de $2$ euros, alors le total serait de $82$ euros, il manque donc $72$ euros. S'il contenait $0$ pièces de $2$ euros, et donc uniquement des pièces de $5$ euros, alors le total serait de $205$ euros, il y a donc $51$ euros en trop. Avec les notations précédentes, on a $x_1=41$, $e_1=-72$ et $x_2=0$, $e_2=51$. Le nombre de pièces de $2$ euros est donc égal à $$\frac{41\times 51}{51+72}=17.$$
Cet article s'inspire du livre Histoire d'algorithmes, du caillou à la puce, aux éditions Belin.