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Lemme de Farkas

Si $E$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, si $f_1,\dots,f_n,g$ sont des formes linéaires sur $E$ alors un résultat classique d'algèbre linéaire nous dit que $g$ est combinaison linéaire de $f_1,\dots,f_n$, c'est-à-dire que $g$ s'écrit $$g=\alpha_1 f_1+\dots+\alpha_n f_n$$ où $\alpha_i\in\mathbb K$ si et seulement si $$\bigcap_{i=1}^n \ker f_i\subset \ker g.$$ Le lemme de Farkas est l'analogue de ce résultat en analyse convexe. Les noyaux sont ici remplacés par le cône des éléments de $E$ où la forme linéaire est positive.

Théorème : Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, soient $f_1,\dots,f_n,g$ des formes linéaires sur $E$. Alors $$\{x\in E;\ f_1(x)\geq 0,\dots, f_n(x)\geq 0\}\subset \{x\in E;\ g(x)\geq 0\}$$ si et seulement s'il existe $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb R_+$ tels que $$g=\alpha_1 f_1+\dots+\alpha_n f_n.$$
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