Famille sommable
Soit $I$ un ensemble et $(a_i)_{i\in I}$, une famille d'éléments de $\mathbb C$. On cherche à donner un sens à $$\sum_{i\in I}a_i.$$ On va s'aider pour cela des sommes finies et on note, pour tout partie finie $J$ de $I$, $$s_J(a)=\sum_{j\in J}a_j.$$
- si les $a_i$ sont tous positifs, on dit que la famille $(a_i)$ est sommable si l'ensemble $$\{s_J(a):\ J\subset I \textrm{ fini}\}$$ est majoré. Dans ce cas, la borne supérieure de l'ensemble est notée $$\sum_{i\in I}a_i$$ et s'appelle somme de la famille.
- Dans le cas général, on dit que $(a_i)$ est sommable si $(|a_i|)$ est sommable.
Pour définir la somme d'une famille sommable de réels $(a_i)$ (pas nécessairement positifs), on procède comme suit : on pose $$a_i^+=\max(a_i,0)\textrm{ et }a_i^-=\max(-a_i,0).$$ La sommabilité de $(a_i)_{i\in I}$ entraînent celles de $(a_i^+)_{i\in I}$ et $(a_i^-)_{i\in I}$. On appelle alors somme de la famille $(a_i)_{i\in I}$ le réel $$\sum_{i\in I}a_i=\sum_{i\in I}a_i^+-\sum_{i\in I}a_i^-.$$
Propriétés :
- Une famille $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ indexée par $\mathbb N$ est sommable si et seulement si la série $\sum_n a_n$ est absolument convergente. Dans ce cas, la somme de la famille sommable et la somme de la série coïncident.
- Si $(a_i)_{i\in I}$ est sommable, alors $\{i\in I;\ a_i\neq 0\}$ est dénombrable.
Ainsi, la théorie des familles sommables est en fait très proche de celle des séries absolument convergentes.