Factorielle d'un entier - Formule de Stirling
La factorielle d'un entier naturel $n$ est le nombre entier noté $n!$ défini par la formule : $$n!=1\times 2\times \dots\times (n-1)\times n.$$ C'est une notion qui intervient beaucoup en combinatoire, lorsqu'on compte le nombre d'éléments d'un ensemble.
Il est en général difficile de calculer $n!$ pour de grandes valeurs de $n$. Mais il existe une formule célèbre, la formule de Stirling, qui en donne un ordre de grandeur en fonction de quantités ne faisant intervenir que des puissances : $$n!\sim_{+\infty}\sqrt{2\pi n}e^{-n}n^n.$$
Méditons un instant sur cette formule. Deux des nombres les plus importants des mathématiques, $e$ et $\pi,$ transcendants, se rejoignent pour donner une très bonne approximation d'un entier naturel !
Remarquons que $7!=5040$ : ce nombre est particulièrement intéressant, puisqu'il correspond, selon Platon (livre 5 des Lois), à la population idéale d'une cité. En effet, $5040$ admet $58$ diviseurs propres, et il est extrêmement facile de partager la population en groupes de toutes tailles pour la distribution des terres, le paiement des impôts, etc... Platon ignorait sûrement que $7560$ et $9240$ ont chacun $62$ diviseurs, ce qui est le maximum possible pour des nombres de moins de $5$ chiffres !
Signalons aussi que la formule de Stirling est en fait bien mal-nommée ! Elle apparait pour la première fois en 1730 dans les travaux de De Moivre. Stirling a donné la même année une approximation plus poussée (avec un développement asymptotique à 5 termes au lieu d'un équivalent), et il a fait beaucoup pour sa popularisation.