Anneau factoriel
Un anneau $A$ est dit factoriel s'il est intègre et s'il vérifie les deux propriétés suivantes :
- Tout élément non nul $a$ de $A$ s'écrit $a=up_1\cdots p_r$, où $u$ est un inversible de $A$, et où $p_1,\dots,p_r$ sont des irréductibles de $A$.
- Cette écriture est unique à permutation près, et à des inversibles près.
Autrement dit, les anneaux factoriels sont ceux pour lesquels il existe une unique décomposition en produit d'irréductibles. Il est possible de faire dans les anneaux factoriels de l'arithmétique comme dans $\mathbb Z$ : il y existe un pgcd, un ppcm, le théorème de Gauss y est vrai.
Théorème : Tout anneau principal est factoriel.
Exemples et contre-exemples :
- l'anneau $\mathbb Z[X]$ est noethérien, factoriel, mais n'est pas principal.
- l'anneau $\mathbb Z[i\sqrt 5]$ noethérien, intègre, mais il n'est pas factoriel : $3,$ $2+i\sqrt 5,$ $2-i\sqrt 5$ sont irréductibles dans $\mathbb Z[i\sqrt 5]$ et pourtant on a $$9=3\cdot 3=(2+i\sqrt 5)\cdot (2-i\sqrt 5).$$
- si $A$ est un anneau factoriel, pour tout $n\in\mathbb N^*,$ $A[X_1,\dots,X_n]$ est factoriel et même l'anneau des polynômes en une infinité d'indéterminées sur $A$ est factoriel.
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