Facteur - Factoriser

Dans l'écriture d'un produit, les termes qui sont multipliés entre eux sont appelés les facteurs de ce produit. Par exemple, dans l'expression $17× 3$ apparaissent deux facteurs : $17$ et $3.$

Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit d'expressions. Pour obtenir une factorisation, la démarche consiste, dans une somme de termes qui sont des produits , à repérer ce qu'on appelle un facteur commun, c'est à dire un terme commun dans chaque produit. On utilise alors la distributivité de la multiplication par rapport à l'additoion pour exprimer l'expression sous la forme d'un produit. Par exemple, dans l'expression : $$(x-7)(2x+1)-(x-7)(x+3)$$ le facteur $(x-7)$ est commun à ces deux produits. On le met en facteur, pour obtenir : \begin{eqnarray*}(x-7)(2x+1)-(x-7)(x+3)&=&(x-7)[(2x+1)-(x+3)]\\&=&(x-7)(x-2). \end{eqnarray*}

On parle également souvent de la décomposition en facteurs premiers. Celle-ci consiste à écrire tout entier naturel $n$ comme produit de nombres premiers : c'est sa décomposition en facteurs premiers. Par exemple, la décomposition en facteurs premiers de $60$ est $60=2^2\times 3\times 5.$ La décomposition en facteurs premiers est utile si on cherche le pgcd de deux entiers par exemple.