Formule de Faà di Bruno
La formule de Faà di Bruno est une formule qui généralise la formule donnant la dérivée d'une fonction composée à un ordre quelconque.
Théorème :
Soit $I,J$ deux intervalles, $f:I\to \mathbb R$ et $g:I\to J.$ On suppose que $f$ et $g$ sont $n$ fois dérivable
sur leur intervalle de définition. Alors, pour tout $x\in I,$
$$(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum \frac{n!}{m_1!m_2!\cdots m_n!}f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot \prod_{j=1}^n \left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}$$
où la somme porte sur tous les $n$-uplets $(m_1,\dots,m_n)\in\mathbb N^n$ tels que $\sum_{k=1}^n km_k=n.$
Voici un bel exemple de formule qu'on utilise pas tous les jours et qu'il serait bien difficile de retenir par coeur!
Cette formule est attribuée à Francesco Faà di Bruno,
un officier et prêtre italien, ayant vécu entre 1825 et 1888.Recherche alphabétique
Recherche thématique