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Bibm@th

Point extrémal

Soit $A$ un convexe d'un espace vectoriel normé $E.$ On dit qu'un point $x$ de $A$ est un point extrémal de $A$ (ou que $x$ est extrémal) si toute égalité $x=ty+(1-t)z,$ avec $y,z\in A$ et $t\in [0,1],$ entraîne $x=y$ ou $x=z.$

Autrement dit, un point $x$ d'un convexe $A$ est extrémal si, pour tout segment de $A$ qui contient $x,$ alors $x$ est une extrémité de ce segment. Par exemple, l'ensemble des points extrémaux d'un disque fermé est le cercle qui ferme ce disque. L'ensemble des points extrémaux d'un carré est constitué par les 4 sommets du carré. On a le théorème important suivant, dit théorème de Krein-Milman.

Théorème : Tout convexe compact non vide d'un espace vectoriel normé est enveloppe convexe de ses points extrémaux.
Le théorème de Krein-Milman a été d'abord démontré par Minkowski en dimension finie.
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