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Extrema liés - Multiplicateurs de Lagrange

On parle d'extrémum lié lorsqu'on cherche à maximiser ou minimiser une fonction de plusieurs variables $f(x_1,\dots,x_n)$ lorsque ces variables sont liées par certaines relations. Un théorème général permet bien souvent de résoudre le problème de la recherche des extrema liés.

Théorème : Soient $f,g_1\dots,g_p$ des fonctions de classe $\mathcal C^1$ sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$, à valeurs dans $\mathbb R$ et $X$ l'ensemble défini par : $$X=\{x\in U;\ g_1(x)=\cdots=g_p(x)=0\}.$$ Si la restriction de $f$ à $X$ admet un extrémum local en $a$, et si les différentielles $dg_1(a),\dots, dg_p(a)$ sont des formes linéaires indépendantes, alors il existe des réels $c_1,\dots,c_p$ tels que : $$df(a)=c_1dg_1(a)+\dots+c_p dg_p(a).$$ Ces réels $c_1,\dots,c_p$ sont appelés multiplicateurs de Lagrange.

Ce théorème a une interprétation géométrique naturelle. Prenons un arc $\gamma$ tracé sur $X$ avec $\gamma(0)=a$. La fonction (d'une variable réelle) $f\circ\gamma$ admet un extrémum local en $0$, d'où l'on tire : $$(f\circ\gamma)'(0)=df(a)(\gamma'(0))=0.$$

Maintenant, $\gamma'(0)$ est un vecteur tangent à $X$ en $a$, et en fait tous les vecteurs tangents à $X$ en $a$ s'obtiennent de cette façon. Ainsi, $df(a)(v)=0$ pour tout vecteur $v$ tangent à $X$ en $a$. Mais l'ensemble de ces vecteurs tangents est l'intersection des noyaux de $dg_i(a)$ et l'inclusion $$\ker df(a)\supset\bigcap_{i=1}^p \ker dg_i(a)$$ entraine la relation du théorème par un résultat élémentaire d'algèbre linéaire.


Exemple

Cherchons le maximum de la fonction $$f(x)=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$$ sur l'ensemble défini par $$Y=\left\{x_1\geq 0,\dots,x_n\geq 0,\ \frac{x_1+\cdots+x_n}n=1\right\}.$$ Commençons par remarquer que ce maximum existe : en effet, la fonction $f$ est continue et l'ensemble $Y$ est compact. En un point $a$ où le maximum est atteint, on a forcément $a_i> 0$ et on peut appliquer le théorème précédent avec $g(x)=(x_1+\dots+x_n)/n-1$ et $$X=\left\{x_1> 0,\dots,x_n>0,\ g(x)=0\right\}.$$ On obtient $$\exists \lambda\in\mathbb R,\ df(a)=\lambda dg(a).$$ Mais $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=\frac 1n\frac{f(a)}{a_i}$$ et $$\frac{\partial g}{\partial x_i}(a)=\frac 1n$$ ce qui entraîne $$f(a)=\lambda a_1=\cdots=\lambda a_n.$$ En particulier, on obtient que tous les $a_i$ sont égaux et qu'il sont tous égaux à 1. Ainsi, sur $X$, on a $f(x)\leq 1$. Par homogénéité, on obtient l'inégalité des moyennes arithmétiques et géométriques $$\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\leq \frac{x_1+\cdots+x_n}n.$$

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