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Extension de corps

Soit $K$ un corps (commutatif). On dit que $L$ est une extension du corps $K$ si $K\subset L$ et si $L$ est lui-même un corps (l'inclusion respectant les lois). L'extension est dite

  • algébrique si tout élément de $L$ est algébrique sur $K$;
  • de type fini s'il existe un nombre fini d'éléments $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ de $L$ tels que $L$ est le corps engendré par $K$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_n$;
  • simple s'il existe un élément $\alpha\in L$ tel que $L$ est le corps engendré par $K$ et $\alpha.$ On emploie aussi parfois l'adjectif monogène plutôt que simple.

Le corps $K$ est dit algébriquement clos si tout polynôme non constant à coefficients dans $K$ a au moins une racine dans $K$. Par exemple, $\mathbb C$ est algébriquement clos. Une clôture algébrique de $ K$ est une extension algébrique de $K$ qui est algébriquement close.

Théorème (Steinitz) : Tout corps $K$ possède une clôture algébrique et deux clôtures algébriques de $K$ sont $K$-isomorphes.

Rappelons qu'un $K$-isomorphisme est un isomorphisme de corps laissant $K$ stable.

Exemple : $\mathbb C$ est la clôture algébrique de $\mathbb R,$ et le corps des nombres algébriques est la clôture algébrique de $\mathbb Q$.

Proposition : Tout corps algébriquement clos est infini.
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