Extension de corps
Soit $K$ un corps (commutatif). On dit que $L$ est une extension du corps $K$ si $K\subset L$ et si $L$ est lui-même un corps (l'inclusion respectant les lois). L'extension est dite
- algébrique si tout élément de $L$ est algébrique sur $K$;
- de type fini s'il existe un nombre fini d'éléments $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ de $L$ tels que $L$ est le corps engendré par $K$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_n$;
- simple s'il existe un élément $\alpha\in L$ tel que $L$ est le corps engendré par $K$ et $\alpha.$ On emploie aussi parfois l'adjectif monogène plutôt que simple.
Le corps $K$ est dit algébriquement clos si tout polynôme non constant à coefficients dans $K$ a au moins une racine dans $K$. Par conséquent, si $K$ est algébriquement clos, tout polynôme non constant à coefficients dans $K$ est scindé dans $K,$ c'est-à-dire produit de polynômes du premier degré. Le nombre de ses racines dans $K$ (comptées avec leur ordre de multiplicité) est donc exactement égal à son degré.
Une clôture algébrique de $K$ est une extension algébrique de $K$ qui est algébriquement close.
Rappelons qu'un $K$-isomorphisme est un isomorphisme de corps laissant $K$ stable.
Exemple : $\mathbb C$, qui est un corps algébriquement clos, est la clôture algébrique de $\mathbb R,$ et le corps des nombres algébriques est la clôture algébrique de $\mathbb Q$.