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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Groupes > Théorie générale >

Exposant d'un groupe

Soit $G$ un groupe abélien. On appelle exposant de $G$ le plus grand des ordres des éléments de $G,$ c'est-à-dire le plus petit entier naturel $n,$ s'il existe, tel que $g^n=e$ pour tout $g\in G.$ S'il n'existe pas, on dit que $G$ est d'exposant infini. L'exposant de $G$ vérifie les propriétés suivantes :

  • lorsque $G$ est fini, il divise le cardinal de $G$, et il est constitué exactement des mêmes facteurs premiers.
  • l'ordre de tout élément du groupe divise l'exposant du groupe.
  • en particulier, l'exposant de $G$ est le ppcm des ordres des éléments du groupe.
  • un groupe abélien d'exposant fini contient au moins un élément dont l'ordre est égal à l'exposant du groupe.
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