Exponentielle complexe
La fonction exponentielle est définie sur $\mathbb R$ comme la seule fonction vérifiant l'équation $y'=y$ et la condition initiale $y(0)=1$, ou comme réciproque du logarithme népérien. On peut alors prouver que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a : $$\exp(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}.$$ Pour définir l'exponentielle sur $\mathbb C$, on exploite cette égalité et on pose la définition suivante :
Définition : On appelle exponentielle complexe
l'application $\exp:\mathbb C\to\mathbb C$ définie par
$$\exp(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}.$$
En utilisant les propriétés liées au produit de Cauchy de deux séries, on démontre notamment que l'équation fonctionnelle vérifiée par la fonction exponentielle reste vraie sur $\mathbb C$ tout entier : pour tous $z,w\in\mathbb C$, on a $$\exp(z+w)=\exp(z)\exp(w).$$
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