Exponentielle d'une matrice
La série entière qui définit l'exponentielle d'un nombre réel, ou complexe, est aussi (absolument) convergente pour une matrice. Ainsi, si $A\in\mathcal M_d(\mathbb C),$ l'exponentielle de $A$ est définie par $$\exp(A)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{A^n}{n!}.$$ L'exponentielle de matrice vérifie les propriétés suivantes :
- $\exp(A)$ est toujours une matrice inversible. On a en effet la relation $\exp(A)\exp(-A)=\exp(0)=I_n.$ De plus, $\exp:\mathcal M_d(\mathbb C)\to GL_d(\mathbb C)$ est surjective, alors que $\exp(\mathcal M_d(\mathbb R))=\{A^2:\ A\in GL_d(\mathbb R)\}.$
- L'identité fonctionnelle de la fonction exponentielle, à savoir $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B),$ n'est plus toujours vérifiée. En revanche, on sait qu'elle a lieu si $A$ et $B$ commutent, c'est-à-dire si $AB=BA.$
- Il est facile de calculer l'exponentielle d'une matrice diagonale : $$\textrm{Si }A=\begin{pmatrix} \alpha_1&0&\dots&0\\ 0&\alpha_2&0&\dots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&0&\alpha_n\end{pmatrix}, \textrm{ alors on a } \exp(A)=\begin{pmatrix} e^{\alpha_1}&0&\dots&0\\ 0&e^{\alpha_2}&0&\dots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&0&e^{\alpha_n}\end{pmatrix}$$ En règle générale, on peut souvent plus facilement calculer l'exponentielle d'une matrice en la réduisant au préalable sous forme de Jordan.
- L'application $A\mapsto \exp(A)$ est différentiable, et même de classe $\mathcal C^\infty$. De plus, sa différentielle en $A$ est $$d_A(\exp)(H)=\exp(A)\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(AH-HA)^k}{(k+1)!}.$$
- Pour toute norme sur $\mathcal M_d(\mathbb C),$ on a $$\|\exp(A)\|\leq \exp(\|A\|).$$
- $\det(\exp(A))=\exp(\textrm{Tr}(A)).$
- Si $P$ est une matrice inversible, $\exp(PAP^{-1})=P\exp(A)P^{-1}$.
- On a la formule de Trotter-Kato : $$\exp(A+B) = \lim_{n\to+\infty} \big(\!\exp(A/n)\exp(B/n)\big)^n.$$
L'exponentielle d'une matrice intervient notamment dans la résolution des systèmes d'équations différentielles linéaires.
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