Espace vectoriel
Dans la suite, $\mathbb K$ désigne un corps, par exemple $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Soit $E$ un ensemble muni d'une loi interne notée $+$ et d'une loi externe définie sur un couple $(\lambda ,u)$ de $\mathbb K\times E$, et notée $\lambda \cdot u$. On dit que $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb K$, ou un $\mathbb K$-espace vectoriel, si
- $(E,+)$ est un groupe commutatif.
- Pour tous $(u,v)$ de $E$, pour tous $(\lambda,\mu)$ de $\mathbb K$, on a :
- $\lambda\cdot (\mu\cdot u)=(\lambda \mu)\cdot u$
- $1\cdot u=u$
- $(\lambda +\mu)\cdot u=\lambda \cdot u+\mu\cdot u$
- $\lambda\cdot (u+v)=\lambda\cdot u+\lambda\cdot v$.
Les éléments de $E$ sont alors appelés les vecteurs, ceux de $\mathbb K$ les scalaires.
La notion d'espace vectoriel est l'une des plus importantes des mathématiques, que ce soit en théorie ou pour les applications.
Exemples :
- $\mathbb R^n$, munie de l'addition $$(x_1,\dots,x_n)+(y_1,\dots,y_n)=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)$$ et de la multiplication externe $$\lambda(x_1,\dots,x_n)=(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)$$ est un espace vectoriel.
- l'ensemble des polynômes $\mathbb R_n[X],$ muni de l'addition des polynômes et de la multiplication par un réel, est un espace vectoriel.
- l'ensemble des matrices $\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)$ muni de l'addition et de la multiplication par un réel, est un espace vectoriel.
La structure d'espace vectoriel a émergé au cours du XIXè siècle. C'est d'abord Grassmann qui, vers 1840, introduit la définition
d'indépendance linéaire et de dimension. Puis c'est Peano, en 1888, qui formalise complètement la notion.
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique