Produit et développement eulérien

On appelle produit eulérien l'écriture d'une fonction comme un produit indexé par les nombres premiers. Par exemple, pour la fonction zêta de Riemann, $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^s},$ on a le produit eulérien $$\zeta(s)=\prod_{p\in\mathcal P}\frac{1}{1-p^{-s}}$$ où $\mathcal P$ désigne l'ensemble des nombres premiers.

Par extension, on parle de développement eulérien pour l'écriture de certaines fonctions comme un produit infini. L'exemple le plus connu est le développement eulérien du sinus, $$\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}=\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)$$ valable pour tout $x\in\mathbb R.$