Constante d'Euler-Mascheroni

La constante d'Euler, souvent notée $\gamma$, est un de ces nombres qui reviennent très souvent en mathématiques. Elle vaut par exemple $$\gamma=-\int_0^{+\infty}e^{-t}\ln(t)dt$$ ou encore $$\gamma=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac 12+\frac13+\cdots+\frac 1n-\ln(n)\right).$$ Elle est à peu près égale à $$\gamma=0,\!577215664901532860\dots.$$

On sait très peu de choses sur la nature arithmétique de cette constante. Par exemple, on ne sait pas si elle est irrationnelle, et donc encore moins si elle est transcendante. D'autre part, on ne dispose pas d'algorithme très rapide (à convergence quadratique) pour calculer ses décimales.

La constante d'Euler est parfois aussi appelée constante de Mascheroni, du nom du géomètre italien. Euler en calcula 16 décimales en 1781, et Mascheroni 32 en 1790 (même si seules les 19 premières étaient justes!). C'est aussi Mascheroni qui introduisit la notation $\gamma$. Hardy, un des mathématiciens emblématiques du XXè s., était si perplexe devant les propriétés de $\gamma$ qu'il déclara qu'il donnerait sa chaire à Oxford à qui prouverait l'irrationnalité de la constante d'Euler.