Espérance conditionnelle
L'espérance conditionnelle est une notion de probabilité qui permet, étant données une variable aléatoire $X$ et une sous-tribu $\mathcal B$, d'exprimer ce que l'on sait de $X$ en ayant uniquement l'information contenue dans $\mathcal B$.
Théorème et définition :
Soit $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ un espace probabilisé, et $\mathcal B$ une sous-tribu de $\mathcal A$.
Soit également $X$ une variable aléatoire réelle définie sur $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$, et intégrable.
Alors il existe une unique variable aléatoire, appelée espérance conditionnelle
de $X$ sachant $\mathcal B$, notée $E(X|\mathcal B)$, telle que
- $E(X|\mathcal B)$ est $\mathcal B$-mesurable;
- pour tout $B\in\mathcal B$, $\int_B E(X|\mathcal B)d\mathbb P(\omega)=\int_B X(\omega)d\mathbb P(\omega).$
Lorsque la variable aléatoire est de carré intégrable, l'espérance conditionnelle a une interprétation géométrique facile : $E(X|\mathcal B)$ est la projection orthogonale de $X$ sur $L^2(\Omega,\mathcal B,\mathbb P)$, c'est-à-dire sur l'espace des variables aléatoires qui sont $\mathcal B$-mesurables.
Exemples :
- L'espérance conditionnelle de $X$ par rapport à la tribu triviale $\{\varnothing,\Omega\}$ est une application constante. Sa valeur est l'espérance de $X$!
- On lance deux fois une même pièce. On gagne un euro à la fin si on obtient deux piles, on perd un euro sinon. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain. L'espace des événéments correspondant est $$\Omega=\{(P_1,P_2),(P_1,F_2),(F_1,P_2),(F_1,F_2)\}.$$ La tribu associée est $\mathcal P(\Omega)$, elle comporte $2^4=16$ éléments. Maintenant, on suppose qu'on a déjà lancé une première fois la pièce. Dans ce cas, on ne peut pas distinguer l'événement $(P_1,P_2)$ de l'événement $(P_1,F_2)$, ni l'événement $(F_1,P_2)$ de l'événement $(F_1,F_2)$. La tribu associée doit en tenir compte, et la tribu qui porte l'information que l'on a après le premier tirage est la tribu engendrée par les deux ensembles $\{(P_1,P_2),(P_1,F_2)\}$ et $\{(F_1,P_2),(F_1,F_2)\}$. Elle est donc égale à $$\mathcal B=\big\{\varnothing,\Omega,\{(P_1,P_2),(P_1,F_2)\},\{(F_1,P_2),(F_1,F_2)\}\big\}.$$ Calculons maintenant l'espérance conditionnelle de $X$ par rapport à $\mathcal B$. Comme $E(X|\mathcal B)$ doit être $\mathcal B$-mesurable, on a nécessairement $$E(X|\mathcal B)(P_1,P_2)=E(X|\mathcal B)(P_1,F_2).$$ La deuxième condition donne : $$E(X|\mathcal B)(P_1,P_2)=E(X|\mathcal B)(P_1,F_2)=0.$$ Ceci exprime que, si on a simplement l'information donnée par le premier lancer de la pièce, et que le résultat est pile, alors le jeu est équitable. De la même façon, on a $$E(X|\mathcal B)(F_1,P_2)=E(X|\mathcal B)(F_1,F_2)=-1.$$ Ceci exprime que, si on a simplement l'information donnée par le premier lancer de la pièce, et que le résultat est face, alors le jeu est perdant à tous les coups.
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