Espérance d'une variable aléatoire
Soit $\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_p\}$ un univers fini et $P$ une probabilité sur $\Omega$. Soit $X:\Omega\to\mathbb R$ une variable aléatoire et posons $X(\Omega)=\{x_1,\dots,x_n\}.$ On appelle espérance de $X$ le réel $$E(X)=\sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i).$$ Elle correspond à la moyenne des valeurs possibles de $X$ pondérées par les probabilités associées à ces valeurs. L'espérance est ainsi définie comme une moyenne sur les valeurs prises par $X$. On peut aussi utiliser une moyenne sur les issues de l'expérience aléatoire. En effet, l'espérance vérifie aussi $$E(X)=\sum_{j=1}^p X(\omega_j)P(\{\omega_j\}).$$
- elle est linéaire : $E(aX+Y)=aE(X)+E(Y)$;
- elle est positive : si $X\geq 0$, alors $E(X)\geq 0$;
- elle est croissante : si $X\leq Y$, alors $E(X)\leq E(Y)$;
Exemple :
- Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$, $X\sim\mathcal B(p)$, alors $$E(X)=p.$$
- Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, $X\sim\mathcal B(n,p)$, alors $$E(X)=np.$$
Soit $(\Omega,\mathcal T,P)$ un espace de probabilité et $X:\Omega\to\mathbb R$ une variable aléatoire discrète. On note $X(\Omega)=\{x_n:\ n\in I\}$ où $I$ est fini ou dénombrable. On dit que $X$ est d'espérance finie ou que $X$ admet une espérance si la famille $(x_n P(X=x_n))$ est sommable. Si c'est le cas, on appelle espérance de $X$ la somme de cette famille : $$E(X)=\sum_{n\in I}x_n P(X=x_n).$$
- L'espérance est linéaire : si $X$ et $Y$ sont d'espérance finie, $X+Y$ est d'espérance finie et $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.
- L'espérance est positive : si $X\geq 0$ est d'espérance finie, alors $E(X)\geq 0$. En particulier, si $X\leq Y$ et $X$ et $Y$ sont d'espérance finie, alors $E(X)\leq E(Y)$.
- Si $|Y|\leq X$ et $X$ est d'espérance finie, alors $Y$ est d'espérance finie.
Soit $(\Omega,\mathcal T,P)$ un espace de probabilité et $X:\Omega\to\mathbb R$ une variable aléatoire admettant une densité $f$. On dit que $X$ est d'espérance finie ou que $X$ admet une espérance si l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty}tf(t)dt$ converge absolument. Si c'est le cas, on appelle espérance de $X$ le réel défini par $$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}tf(t)dt.$$
Les propriétés énoncées pour l'espérance d'une variable aléatoire discrète restent vraies dans ce cadre.
Soit $(\Omega,\mathcal T,P)$ un espace de probabilité et $X:\Omega\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ une variable aléatoire. On dit que $X$ est d'espérance finie ou que $X$ admet une espérance si la fonction $X$ est intégrable relativement à la mesure $P$. Si c'est le cas, on appelle espérance de $X$ le réel défini par $$E(X)=\int_{\Omega}X(\omega)dP(\Omega).$$ On intègre ici sur l'espace de départ. On peut aussi définir l'espérance en intégrant sur l'espace d'arrivée. Si $P_X$ est la loi de $X$, alors $$E(X)=\int_{\mathbb R} xdP_X(x).$$