Espace tangent à une sous-variété
Soit $M$ une sous-variété de classe $\mathcal C^1$ de $\mathbb R^n$ de dimension $p$, et $x$ un point de $M$. On dit qu'un vecteur $v\in\mathbb R^n$ est tangent à $M$ en $x$ s'il existe $\delta>0$ et $\gamma:]-\delta,\delta[\to \mathbb R^n$ une courbe de classe $\mathcal C^1$, tracée sur $M$ (i.e. $\gamma(]-\delta,\delta[)\subset M$) et telle que $\gamma(0)=x$, $\gamma'(0)=v$.
On démontre que l'ensemble des vecteurs tangents à $M$ en $x$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$ de dimension $p$, appelé espace tangent à $M$ en $x$, et noté $T_x M$.
Suivant la façon dont est définie la sous-variété, on peut donner la valeur de $T_x M$ :
- définition implicite : si $U$ est un voisinage de $x$ dans $\mathbb R^n$ et $f:U\to\mathbb R^{n-p}$ une $\mathcal C^k$-submersion en $x$ tels que $M\cap U=f^{-1}(\{0\})$, alors $T_x M=\ker (df_x)$.
- définition par paramétrage : si $U$ est un voisinage de $x$ dans $\mathbb R^n$ et $V$ est un voisinage de $0$ dans $\mathbb R^p$, $f:V\to\mathbb R^n$ une $\mathcal C^k$-immersion en $0$ envoyant $0$ sur $x$ tels que $f_{|V}$ est un homéomorphisme de $V$ sur $U\cap M$, alors $T_x M=\textrm{Im}(df_0)$.
- définition par redressement : si $U$ et $V$ sont des voisinages respectifs de $x$ dans $\mathbb R^n$ et de $0$ dans $\mathbb R^n$, si $f:U\to V$ un $\mathcal C^k$-difféomorphisme envoyant $x$ sur $0$ et tel que $f(U\cap M)=V\cap (\mathbb R^p\times \{0\})$, alors $T_x M=(df_x)^{-1}(\mathbb R^p\times\{0\})$.
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