Escalier de Cantor - escalier du diable
L'escalier de Cantor est une fonction construite sur le modèle de l'ensemble de Cantor par le procédé itératif suivant :
- la fonction $f_1$ est affine, avec $f_1(0)=0$, $f_1(1)=1$.
- on coupe l'intervalle $[0,1]$ en 3 segments de même longueur : $[0,1/3]$, $[1/3,2/3]$, $[2/3,1]$. La fonction $f_2$ est constante sur l'intervalle du milieu, affine sur chacun des deux autres intervalles, avec les valeurs aux bord : $f_2(0)=0$, $f_2(1/3)=f_2(2/3)=1/2$, $f_2(1)=1$.
- pour déduire $f_3$ de $f_2$, on répète le même procédé sur chacun des intervalles où $f_2$ est affine : on coupe l'intervalle en 3, $f_2$ est constante sur l'intervalle du milieu, affine sur les deux autres, avec la même pente.
- on répète...
La fonction limite des $f_n$ s'appelle fonction de Cantor. Voici la construction et la représentation graphique de la limite.
Plus formellement, si $(A_n)$ est la suite de fermés de $[0,1]$ définie par $$A_0=[0,1]\textrm{ et }A_{n+1}=\frac{A_n}{3}+\frac{2+A_n}{3},$$ de sorte que l'ensemble triadique de Cantor est $$K=\bigcap_{n\geq 0}A_n,$$ alors $f$ est définie par $$f(x)=\left(\frac 32\right)^n \int_0^x \mathbf 1_{A_n}(t)dt.$$
Cette fonction a des propriétés très particulières : elle est dérivable en tout point qui n'appartient pas à l'ensemble de Cantor, et sa dérivée y est nulle. Autrement dit, puisque l'ensemble de Cantor est de mesure nulle, elle est dérivable presque partout, sa dérivée vaut presque partout 0, et pourtant $f(0)=0$ alors que $f(1)=1$! Cette fonction est donc très loin de vérifier le théorème fondamental du calcul intégral $$\int_0^1 f'(x)dx=f(1)-f(0).$$ C'est de cette propriété très étrange que vient probablement l'autre nom de la fonction de Cantor : l'escalier du diable... C'est donc une fractale très intéressante.
Cette courbe a été découverte en 1885 par Ludwig Scheefer, qui était un élève de Cantor.