Quelques notions de théorie ergodique
Soit $(X,\mathcal B,m)$ un espace de probabilité, et $T$ un endomorphisme de cet espace, i.e. une fonction $T:X\to X$ telle que, pour tout $A\in\mathcal B$, $T^{-1}A\in\mathcal B.$ On dit que :
- préserve la mesure si pour tout $A\in\mathcal B$, $m(T^{-1}(A))=m(A).$
- est ergodique si pour tout $A\in\mathcal B$, $T^{-1}A=A$ entraîne $m(A)=0$ ou $m(A)=1.$
Les théorèmes ergodiques sont des théorèmes concernant la moyenne de telles transformations. Voici par exemple le théorème de Birkhoff-Khintchine.
Théorème :
Soit $f\in L^1(X,m)$, $T$ un endomorphisme de $(X,\mathcal B,m)$ qui préserve la mesure. Alors la moyenne
$$\frac 1n \sum_{k=1}^n f(T^k x)$$
converge pour presque tout $x\in X$ vers une limite $F(x)$. De plus, $F\circ T=F$ presque partout.
En particulier, si $T$ est ergodique, alors $F$ est constante.
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