Équirépartition
Une suite $(x_n)_{n\geq 1}$ de réels de $[0,1]$ est équirépartie si, pour tous $0\leq a<b\leq 1$, on a $$\lim_{N\to +\infty}\frac 1N\textrm{card}\big(\{1\leq n\leq N;\ x_n\in [a,b]\}\big)=b-a.$$
Cela signifie concrètement que la suite se répartit uniformément dans $[0,1]$ : la proportion de points de $(x_n)$ dans tout intervalle $[a,b]$ est proportionnelle à la taille de l'intervalle $[a,b].$ En particulier, une suite équirépartie est dense dans $[0,1],$ mais l'équirépartition est une propriété beaucoup plus forte.
Le théorème suivant, appelé critère de Weyl, caractérise les suites équiréparties :
- la suite $(x_n)$ est équirépartie;
- pour toute fonction $f:[0,1]\to\mathbb C$ continue, $$\lim_{N\to +\infty}\frac 1N\sum_{n=1}^N f(x_n)=\int_0^1 f(t)dt.$$
- pour tout $m\in\mathbb Z^*$, $$\lim_{N\to +\infty}\frac 1N\sum_{n=1}^N e^{2\pi i mx_n}=0.$$
Comme application du critère de Weyl, on peut voir que si $x$ est irrationnel, la suite $(nx-\lfloor nx\rfloor)_{n\geq 1}$ est équirépartie (on dit aussi que la suite $(nx)_{n\geq 1}$ est équirépartie modulo 1, ou uniformément distribuée).