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Dictionnaire de mathématiques > Fondements > Théorie des ensembles >

Ensembles équipotents

Deux ensembles $A$ et $B$ sont dits équipotents s'il existe une bijection $f : A\to B.$

Pour les ensembles finis, il s'agit d'une notion sans difficulté, et on montre que deux ensembles sont équipotents si et seulement s'ils ont le même cardinal : en effet, si on a une injection de $A$ dans $B,$ il est clair que $f(A)$ a le même nombre d'éléments que $A,$ et aussi moins d'éléments que $B.$ En échangeant les rôles de $A$ et de $B$ et en utilisant $f^{-1},$ on trouve bien que $A$ et $B$ ont le même nombre d'éléments.

Dans le cas où les ensembles sont infinis, c'est une notion bien plus délicate. Les ensembles qui sont équipotents à l'ensemble des entiers naturels $\mathbb N$ sont dits dénombrables. Mais on démontre qu'il existe des ensembles qui ne sont pas dénombrables : Par exemple, l'ensemble des réels $\mathbb R$ n'est pas dénombrable. Il suffit pour cela de montrer que l'intervalle $[0,1[$ ne l'est pas Cela peut se prouver en utilisant le développement décimal des réels de $[0,1[$ et le procédé diagonal de Cantor.

En fait, la théorie des cardinaux des ensembles infinis est fondée sur cette notion d'ensembles équipotents : le cardinal de $A$ sera la classe de tous les ensembles qui lui sont équipotents. Cela soulève de nombreux problèmes sur la théorie des ordinaux et des cardinaux.

Exemple : Pour tout ensemble $X$, $X$ et $\mathcal P(X)$ ne sont jamais équipotents.

Ce résultat est facile à établir dans le cas où $X$ est fini, puisque si le cardinal de $X$ est $n,$ celui de $\mathcal P(X)$ est $2^n.$ La démonstration dans le cas général utilise un raisonnement à rapprocher du paradoxe de Russell : on suppose par l'absurde l'existence de $f:X->\mathcal P(X)$ une bijection. On note alors : $$A=\{y\in X:\ y\in f(y)\}$$ $$ B=\{y\in X:\ y\notin f(y)\}.$$ Puisque $B\in\mathcal P(X),$ il existe $x\in X$ tel que $B=f(x).$ En outre il est clair que $X=A\cup B$ et $A$ et $B$ sont disjoints. Alors, on a l'alternative suivante :

  • Si $x\in A$ alors $x\in f(x)=B$ : c'est absurde!
  • Si $x\in B,$ alors $x\notin f(x)=B$ : c'est absurde!

Les deux cas mènent à une absurdité : c'est que $X$ et $\mathcal P(X)$ ne sont jamais équipotents.


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