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Fonctions équicontinues et théorème d'Ascoli

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb R$. On dit que la suite $(f_n)$ est équicontinue si $$\forall x\in I,\ \forall \veps>0,\ \exists \delta>0,\ \forall n\in\mathbb N,\ \forall y\in I,\ |x-y|<\delta\implies |f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon.$$ Autrement dit, toutes les fonctions $f_n$ sont continues sur $I$, et elles sont continues "de la même façon". La suite $(f_n)$ est uniformément équicontinue si $$\forall \veps>0,\ \exists \delta>0,\ \forall (x,y)\in I^2,\ \forall n\in\mathbb N,\ |x-y|<\delta\implies |f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon.$$

La notion d'équicontinuité intervient notamment dans le théorème d'Ascoli :

Théorème (Ascoli) : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un intervalle fermé borné $I$, à valeurs réelles. On suppose que cette suite de fonctions est équicontinue, et qu'il existe un réel $M>0$ tel que $|f_n(x)|<M$ pour tout $n\in\mathbb N$ et pour tout $x\in I$.
Alors on peut extraire une sous-suite $(f_{n_k})$ qui converge uniformément sur $I$ vers une fonction continue $f$.

On peut bien sûr donner des énoncés plus généraux. Si $(X,d)$ et $(Y,\delta)$ sont des espaces métriques, une partie $A$ de $C(X,Y)$ est dite équicontinue si $$\forall x\in X,\ \forall \veps>0,\ \exists \eta>0,\ \forall f\in A,\ \forall y\in X,\ d(x,y)<\eta\implies \delta(f(x),f(y))<\varepsilon.$$ Le théorème d'Ascoli s'énonce alors :

Théorème : Soit $X$ un espace métrique compact, $Y$ un espace métrique. Alors une partie $A$ de $C(X,Y)$ est relativement compacte si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
  • $A(x):=\{f(x);\ f\in A\}$ est relativement compact dans $Y$ pour tout $x\in X$;
  • $A$ est équicontinue.
La notion d'équicontinuité a été identifiée par Maurice Fréchet.
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