Introduction aux équations différentielles

Une équation différentielle est une équation du type $y'=f(t,y)$ où $f$ est une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^2$ ($U$ est appelé le domaine de l'équation différentielle). Une solution de cette équation différentielle est une fonction $y$, définie et dérivable sur un intervalle $I$, et telle que, pour tout $t$ de $I$, $(t,y(t))$ est dans $U$, et $y'(t)=f(t,y(t))$.

Une équation différentielle de la forme précédente s'appelle une équation différentielle du premier ordre. On recontre aussi souvent des équations du deuxième ordre, du type $y''=f(t,y,y')$. Plus généralement, une équation différentielle d'ordre $m$ est une équation du type $y^{(m)}=f(t,y',...,y^{(m-1)})$.

Ex : Circuit RLC. On considère la charge d'un condensateur à travers une résistance et une inductance. $U$ est un générateur qui impose, au cours du temps, une tension (constante ou sinusoïdale).

On note $q$ la charge du condensateur, et $i$ le courant dans le circuit. Rappelons que $i=dq/dt=q'(t)$. La loi d'Ohm appliquée au circuit permet d'écrire : $$U=\frac 1c q+Rq'+Lq''.$$ On obtient une équation différentielle du second ordre.

Il y a en général plusieurs solutions à une équation différentielle. Pour espérer caractériser une solution, il faut ajouter une condition initiale qui décrit le système à un instant initial.

Lorsqu'on a une équation différentielle du second ordre, le problème de Cauchy correspond à la recherche d'une solution avec $y(t_0)=y_0$, $y'(t_0)=y_1$, et ainsi de suite si l'ordre est $m.$

Une solution d'une équation différentielle est maximale si elle n'est la restriction d'aucune autre solution. Sous ces hypothèses, on a le théorème d'existence et d'unicité des solutions suivant :

Si $f$ est de classe $\mathcal C^1,$ $f$ est localement lipschitzienne en la seconde variable. C'est souvent ce que l'on rencontre dans la pratique, et le théorème de Cauchy-Lipschitz est alors applicable.

Ce théorème illustre le déterminisme en physique classique. Si un système suit une loi d'évolution donnée, les mêmes causes (i.e. le même problème de Cauchy) produisent les mêmes effets.

La notion d'équation différentielle est formalisée au XVIIIè siècle. Les mathématiciens éprouvent alors le besoin de résoudre ces équations. En 1768, Leonhard Euler propose une méthode pour trouver une solution approchée de la solution d'une équation différentielle prenant la valeur $y_0$ en $x_0$ : il remplace au point $(x_0,y_0)$ la courbe représentative de la fonction par sa tangente, qu'il connait puisque l'équation différentielle donne justement la valeur de la dérivée en fonction de $x_0$ et $y_0$. Il réitère l'opération en $x_1=x_0+h$ et ainsi de suite et obtient une ligne polygonale qui approche la courbe d'une solution de l'équation différentielle. C'est la méthode d'Euler.

Au début du XIXè siècle, Cauchy dispose de nouveaux outils, notamment la définition d'une limite. Il reprend la méthode d'Euler et prouve, sous certaines hypothèses, la convergence de la suite d'approximants lorsque le pas $h$ tend vers $0.$ Cauchy est le premier à donner un résultat d'existence de solutions. Jusqu'à lui, comme les équations étaient issues d'un problème physique, l'existence d'une solution découlait du problème physique étudié.

En 1868, Lipschitz prouve existence et unicité d'une solution maximale à condition initiale donnée sous les hypothèses du théorème dit de Cauchy-Lipschitz. En 1894, Picard généralise le théorème en se plaçant en dimension $n$ et plus seulement en dimension $2$. Sa méthode de preuve est complètement nouvelle, puisqu'il utilise le théorème du point fixe qui porte son nom.

Source : Biographie des grands théorèmes par Bertrand Hauchecorne.