Equations différentielles linéaires
Une équation différentielle linéaire (du premier ordre) est une équation différentielle de la forme $y'(x)=a(x)y(x)+b(x)$, où $a$ et $b$ sont des fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$. Si $a$ et $b$ sont deux fonctions constantes, l'équation est dite à coefficients constants. Une solution de l'équation différentielle est une fonction $y:I\to\mathbb R$, dérivable, et vérifiant $y'(x)=a(x)y(x)+b(x)$ pour tout $x\in I$.
Plus généralement, une équation différentielle linéaire d'ordre n est une équation différentielle qui s'écrit $$a_n y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1 y'+a_0 y=b.$$ L'équation homogène associée (on parle aussi d'équation sans second membre) est celle où on a "oublié" le terme en b : $$a_n y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1 y'+a_0 y=0.$$
Il est beaucoup plus facile d'étudier les équations différentielles linéaires que les équations différentielles générales. On prouve que l'ensemble des solutions de l'équation homogène est un espace vectoriel de dimension $n$, et que l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire générale est un espace affine de dimension $n$.
On cherche à résoudre : $$a_n y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1 y'+a_0 y=0\ (E_0)$$ où les $a_i$ sont des réels. Le polynôme caractéristique associé est : $$a_n X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0.$$ Si le polynôme caractéristique se factorise (sur $\mathbb C$) sous la forme $$\prod_{j=1}^r (X-\lambda_j)^{l_j}\prod_{k=1}^s (X-\mu_k)^{m_k}\prod_{k=1}^s (X-\overline{\mu_k})^{m_k}$$ avec $\lambda_j\in\mathbb R$ et $\mu_k=\alpha_k+i\beta_k$, alors la famille $$(t^ae^{\lambda_jt},t^b\exp(\alpha_k t)\cos(\beta_k t),t^b\exp(\alpha_k t)\sin(\beta_k t))$$ avec $j\in\{1,\dots,r\}$, $k\in\{1,\dots,s\}$, et pour chaque $j$ et chaque $k$, $a\in\{0,\dots,l_{j}-1\}$, $b\in\{0,\dots,m_k-1\}$, est une base de l'ensemble des solutions de $(E_0)$.
Soit $A$ une application définie sur un intervalle $I\subset\mathbb R$, à valeurs dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$. L'équation $Y'(t)=A(t)Y(t)$ est une équation différentielle, où on cherche ici une fonction dérivable $Y:I\to\mathbb R^n$. On peut cette équation sous forme étendue $$\left\{ \begin{array}{rcl} y_1'(t)&=&a_{1,1}(t)y_1(t)+a_{1,2}(t)y_2(t)+\cdots+a_{1,n}(t)y_n(t)\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ y_n'(t)&=&a_{n,1}(t)y_1(t)+a_{n,2}(t)y_2(t)+\cdots+a_{n,n}(t)y_n(t). \end{array}\right.$$ C'est pourquoi on parle aussi de système différentiel linéaire.
Si $Y'=AY$ est une telle équation différentielle linéaire, alors l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension $n$. Si on considère une équation avec second membre $Y'=AY+B$, ou $B:I\to\mathbb R^n$ est continue, alors l'ensemble des solutions est un espace affine de dimension $n$.