Enveloppe convexe
Définition : Si $E$ un espace vectoriel, et $A$ une partie de $E$, l'enveloppe
convexe de $A$ est l'intersection des parties convexes de $E$ contenant $A$. C'est elle-même un
convexe, et c'est le plus petit convexe contenant $A$.
On démontre que l'enveloppe convexe de $A$ est l'ensemble des combinaisons convexes d'éléments de $A$ : précisément, si $y$ est élément de l'enveloppe convexe de $A$, alors il existe un entier $p\geq 1$, des éléments $a_1,\dots,a_p$ de $A$ et des réels positifs $t_1,\dots,t_p$, de somme 1, tels que $$y=t_1a_1+\cdots+t_p a_p.$$
Exemple :
- l'enveloppe convexe de 3 points du plan est le triangle formé par ces 3 points.
- l'enveloppe convexe de $O_n(\mathbb R)$ est la boule unité fermée de $M_n(\mathbb R)$ pour la norme subordonnée à la norme euclidienne.
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