Élément entier

Soit $B$ un anneau et $A$ un sous-anneau de $B$. Un élément $b$ de $B$ est entier sur $A$ s'il existe $n\in\mathbb N^*$ et $a_0,\dots,a_{n-1}\in A$ tels que $$b^n+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_1 b+a_0=0$$ où les $a_i$ sont des éléments de $A$. Autrement dit, $b$ est entier sur $A$ lorsqu'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans $A$. Lorsque $A=\mathbb C$ et $B=\mathbb Z$, on emploie aussi le terme "entier algébrique". Par exemple, $\sqrt 2$ est entier sur $\mathbb Z$ car il est racine de $X^2-2$.

L'ensemble des éléments de $B$ qui sont entiers sur $A$ est un sous-anneau de $B$ contenant $A.$ On dit que $B$ est entier sur $A$ si ce sous-anneau est égal à $B,$ autrement dit si tout élément de $B$ est entier sur $A.$

Lorsque $A$ est un corps (commutatif), un élément est entier sur $A$ si et seulement s'il est algébrique sur $A.$