Ensembles de nombres
Théorie élémentaire
On travaille en mathématiques avec différents ensembles de nombres :
- l'ensemble des entiers naturels, noté $\mathbb N$ : $\mathbb N=\{0;1;2;3;...\}.$
- l'ensemble des entiers relatifs, noté $\mathbb Z$ : $\mathbb Z=\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}.$ Les éléments de $\mathbb Z$ correspondent aux graduations d'une droite graduée toutes les unités.
- l'ensemble des décimaux, noté $\mathbb D$. Un nombre décimal est le quotient d'un entier relatif par une puissance de 10, $a/10^n$, par exemple $32/100$, mais aussi $3/5=6/10.$ Les nombres décimaux sont ceux qui ont une écriture décimale finie.
- l'ensemble des rationnels, noté $\mathbb Q$. Un nombre rationnel est le quotient $a/b$ d'un entier relatif $a$ par un entier naturel non nul $b$. Les nombres rationnels sont ceux qui ont une écriture décimale périodique.
- l'ensemble des réels, noté $\mathbb R$, qui est l'ensemble de tous les nombres usuels. Les réels correspondent aux abscisses possibles d'un point sur une droite graduée. Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés irrationnels. Parmi eux, on trouve $\pi$ ou $\sqrt 2.$
Ces différents ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres suivant le schéma suivant :
Théorie un peu moins élémentaire
À un niveau un peu plus élevé, on ne peut pas se contenter des "définitions" précédentes. Il faut construire les ensembles, et comprendre pourquoi ils sont nécessaires.
- Au commencement, il y a les entiers naturels. Comme Peano, on peut les construire à partir de deux notions de départ, l'élément 0 et l'opération "successeur d'un nombre". Ainsi1 est le successeur de 0, etc... Ce faisant, on définit rigoureusement $\mathbb N$ et une addition sur cet ensemble.
- Le problème des entiers naturels est que l'addition n'est pas "réversible". Autrement dit, si $n$ est un entier naturel non nul, il n'existe pas d'autre entier naturel $m$ tel que $n+m=0.$ L'ensemble des entiers relatifs est donc introduit pour symétriser l'addition sur $\mathbb N$.
- Sur $\mathbb Z$, outre une addition, on définit aussi une multiplication qui en fait un anneau. Là encore, le problème est l'absence de réversibilité de la multiplication. Si $n$ est un entier relatif distinct de $\pm 1$, il n'existe pas d'autre entier relatif $m$ tel que $n\times m=1$. On introduit $\mathbb Q$ pour symétriser la multiplication. $\mathbb Q$ n'est rien d'autre que le corps des fractions de l'anneau $\mathbb Z$.
- Les problèmes qui apparaissent avec $\mathbb Q$ ne sont plus de l'ordre de l'algèbre, mais de l'ordre de l'analyse. Le premier trouble apparait dès l'école pythagoricienne, lorsque l'on s'aperçoit que la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1 ne peut pas s'écrire comme quotient de deux entiers. Il faut donc introduire des nombres "irrationnels", à comprendre comme "privé de raison", où la raison ici serait une commune mesure entre la longueur de la diagonale et celle du côté. Autre problème rencontré avec $\mathbb Q$, la fonction f définie par $f(x)=x^2-2$ prend des valeurs positives et négatives sur $\mathbb Q$, mais ne s'annule pas. On introduit alors $\mathbb R$, qui comble les lacunes précédentes. La propriété que $\mathbb R$ possède et que $\mathbb Q$ ne possède pas est celle de la borne supérieure : toute partie de $\mathbb R$ non-vide est majorée admet une borne supérieure. La construction de $\mathbb R$ à partir de $\mathbb Q$ est relativement difficile. Elle peut se faire à l'aide des suites de Cauchy ou des coupures de Dedekind.
- Enfin, $\mathbb R$ n'est pas encore totalement satisfaisant, car il existe des équations polynomiales, dont les coefficients sont dans $\mathbb R,$ comme $x^2+1=0$, qui n'ont pas de solutions dans $\mathbb R$. Il faut alors introduire les nombres complexes $\mathbb C$ pour ne plus rencontrer ce genre de problèmes...
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