Idéal engendré

Si $A$ est un anneau et $E$ est une partie de $A,$ on appelle idéal engendré par $E$ le plus petit idéal de $A$ contenant $E$. C'est l'intersection de tous les idéaux contenant $E$ et il peut être décrit comme $$\langle E\rangle=\left\{\sum_{i=1}^n a_i x_i b_i:\ n\in\mathbb N,\ a_i,b_i\in A,\ x_i\in E\right\}.$$ On parle parfois d'idéal bilatère engendré par $E$ pour l'idéal précédent, et on définit aussi la notion d'idéal à gauche (resp. à droite) engendré par $E$ comme le plus petit idéal à gauche (resp. à droite) contenant $E$, c'est-à-dire l'intersection de tous les idéaux à gauche (resp. à droite) contenant $E$. Ainsi, on a $$\langle E\rangle_{\textrm{gauche}}=\left\{\sum_{i=1}^n a_i x_i:\ n\in\mathbb N,\ a_i\in A,\ x_i\in E\right\}.$$