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Ellipsoïdes de John et de Loewner

Théorème : Tout compact de $\mathbb R^n$ d'intérieur non vide est contenu dans un unique ellipsoïde de volume minimal. On appelle cet ellipsoïde l'ellipsoïde de Loewner.
Théorème : Tout convexe compact de $\mathbb R^n$ d'intérieur non vide contient un unique ellipsoïde de volume maximal. On appelle cet ellipsoïde l'ellipsoïde de John.

Pour construire l'ellipsoïde de Loewner, il n'est pas nécessaire que le compact soit convexe. Remarquons que dans le cadre des convexes compacts, on peut passer de l'ellipsoïde de John à celui de Löwner à l'aide de la notion de polarité. En effet le polaire d’un ellipsoïde est un ellipsoïde, le polaire d’un convexe compact contenant l’origine et encore un convexe compact contenant l’origine et si $C_1 \subset C_2,$ alors $C_2^\circ\subset C_1^\circ.$

Exemple : L'ellipsoïde de Loewner d'un triangle équilatéral est le disque de bord le cercle circonscrit. L'ellipsoïde de John d'un triangle équilatéral est le disque de bord le cercle inscrit.

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