Ellipsoïde
Ellipsoïde de l'espace
On appelle ellipsoïde de l'espace euclidien toute surface $S$ pour laquelle il existe un repère orthonormé $(A,\vec u,\vec v,\vec w)$ dans lequel $S$ admet pour équation $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$ où $a,b,c>0.$ Un ellipsoïde est donc une des cinq quadriques propres.
Un ellipsoïde vérifie les propriétés suivantes :
- Les droites $(A,\vec u),$ $(A,\vec v)$ et $(A,\vec w)$ sont axes de symétrie de la figure.
- si $a=b=c,$ l'ellipsoïde est une sphère.
- si deux éléments sont égaux parmi $a$, $b$ et $c$, l'ellipsoïde est de révolution. Par exemple, si $a=b,$ l'ellipsoïde est une surface de révolution autour de $(A,\vec w).$
- l'intersection d'une ellipsoïde et d'un plan est soit vide, soit un point, soit une ellipse.
Un ellipsoïde admet le paramétrage suivant :
$$(\theta,\varphi)\in[0,2\pi[\times [-\pi/2,\pi/2[\mapsto
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&a\cos\theta\cos\varphi\\
y&=&b\sin\theta\cos\varphi\\
z&=&c\sin\varphi.
\end{array}\right.
$$
Ellipsoïde de $\mathbb R^n$
Plus généralement, une partie $\mathcal E$ de $\mathbb R^n$ est appelée ellipsoïde s'il existe une forme quadratique définie positive $q$ telle que $\mathcal E=\{x\in\mathbb R^n:\ q(x)\leq 1\}.$
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